GEMM就是指计算 C=A∗B+C ，其中 A 、B和C都是矩阵，A是 M×K 的矩阵，B是 K×N 的矩阵， C是 M×N 的矩阵。

而最难以理解的就是向量内积方法取A的一行乘以B的一列，向量外积方法换成取A的一列乘以B的一行。

最基础的向量内积方法：

矩阵C中位于 (i,j) 的元素就是矩阵A的第 i 行和矩阵 B 的第 j 列，这两个 K 维向量的内积结果。

理想情况下性能应当受限于算术吞吐量，确切来说对于一个大型方阵，即 M=N=K ，矩阵乘法的数学操作复杂度为 O(N3) ，而数据量为 O(N2) ，同时计算强度为 N （这里的计算强度可以被理解为同一个数据被重复利用的次数）。

然而能够利用好理论计算强度要求重复使用每个元素 O(N) 次。不幸的是，为了重复利用元素，上述“内积”算法需要我们在片上高速缓存（ 如NVIDIA设备中的Shared Memory）占据一大块空间，因此在 M 、 N 和 K 增大的时候无法实现。

而对于向量外积的矩阵乘法：

颠倒循环的嵌套顺序，即通过将最内层 K 次的循环提到最外层，取得好一些的性能。

这种实现在最外层的一次循环中只需要加载一次矩阵 A 的列和矩阵B的行，然后进行外层乘法计算并把结果累加到矩阵C中。在此之后矩阵A的这一列和矩阵B的这一行就再也不会用到了。

在改变了这个思路之后，才有将全局内存中的A矩阵和B矩阵分别取一小块(tile)放入共享内存中进行FFMA操作，这时不加载A的一整列和B的一整行，而是按小块来加载A的列的一部分和B的行的一部分：

矩阵C分成若干 Mtile×Ntile 矩阵片（tile）来减小工作集的大小（之前说同一次最外层循环只加载一次矩阵A的列和矩阵B的行，假设加载的是A的第 k 整列及B的第 k 整行，这二者的计算实际上会在矩阵C中 M∗N 个元素中的每一个进行自加操作，因此这里提到“要求所有矩阵C中的 M×N 个元素都处于活动状态”，如果进行拆分成tile的话就不要一次读入整行整列）。注意每个tile都占用一个block进行计算。

我们对每个tile都执行外层乘法，因此有以下代码：

对于矩阵C中的每一个tile，矩阵A与矩阵B中的tile只需要读取一次，这样就可以达到 O(N) 的计算强度。矩阵C tile的大小的是依据L1缓存或是寄存器数量的上限决定的。这样外层的循环就能被简单的并行化了，这是个巨大的提升！

进一步的重构为利用局部性和并行性提供了更多的基础。我们可以通过在块中沿着维度 K 累加矩阵的积而不必只累加向量外层的积（Jie: 这里我理解还是在说拆分成tile执行累加免于一下子加载整个矩阵C）。我们常称此概念为矩阵乘法累加（accumulating matrix products, AMP）。

这就是向量内积和向量外积的最大区别。

使用更清晰的伪代码来表示：

该向量内积矩阵乘法的伪代码为：

而使用共享内存和寄存器优化，基于向量外积的矩阵伪代码为：

在向量外积中，编译器自动做了一些优化，将A从共享内存送入寄存器来进行计算：